算法导论 答案,算法导论答案 第25章答案

算法导论第25章概览

《算法导论》作为计算机科学领域的重要教材，其第25章深入探讨了算法分析中的高级问题。本章内容丰富，涵盖了正定矩阵、二次型、特征值与特征向量等多个关键概念。以下是对本章内容的详细解析。

1.正定矩阵及其性质

正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有一系列独特的性质。设(A)为(nn)的实对称矩阵，如果对于任意非零向量(x)，都有(x^TAx&gt 0)，则称(A)为正定矩阵。

正定矩阵具有以下性质：

唯一性：正定矩阵是唯一的，即如果(A)和()都是正定矩阵，并且(A)和()相似，则(A)和()实际上是相同的矩阵。

2.二次型及其正负惯性指数

二次型是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个多变量函数的二次多项式形式。设(f(x)=x^TAx)为一个二次型，其中(A)是一个(nn)的对称矩阵。

二次型的正负惯性指数定义为：

正惯性指数：二次型中正的二次项的个数。

正定矩阵确保了二次型的正惯性指数大于零，而负惯性指数为零。

3.特征值与特征向量的线性无关性

在数域上的(n)阶矩阵(A)有(n)个不同的特征值，每个特征值对应一个特征向量。设(\lamda_1,\lamda_2,...,\lamda_n)是(A)的特征值，(v_1,v_2,...,v_n)是对应的特征向量。

如果(A)的特征值都是不同的，那么对应的特征向量(v_1,v_2,...,v_n)是线性无关的。

若(A)可逆，即(A)的行列式不为零，则(A)的特征向量也是线性无关的。

4.矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中的一个基本概念，它表示矩阵中线性无关的行或列的最大数目。

对于一个(nn)的矩阵(A)，如果(A)是可逆的，那么(A)的秩等于(n)。

若(A)是一个(mn)的矩阵，那么(A)的秩不会超过(m)和(n)中的较小值。

5.行列式的计算

行列式是线性代数中的一个重要概念，它用于计算矩阵的逆矩阵、解线性方程组等。

计算行列式的方法有多种，包括拉普拉斯展开、行列式按行展开等。

6.向量线性表示的条件

一个向量()可以表示为向量组({v_1,v_2,...,v_n})的线性组合，当且仅当()在这些向量的线性空间中。

如果()可以唯一地表示为({v_1,v_2,...,v_n})的线性组合，则这些向量必须是线性无关的。

通过以上对《算法导论》第25章的详细解析，我们可以更好地理解算法分析中的高级概念，为深入学习和应用这些概念打下坚实的基础。